Stabilité au sens de Lyapunov

Définition1: Stabilité au sens de Lyapunov

L’état d’équilibre $x_e$ est dit stable si $\forall t> 0$ $$∀ \varepsilon >0 ; \exists \alpha >0 : ||x(0) − x_e||< α ⇒ ||x(t) − x_e||<\varepsilon $$ Dans le cas contraire, $x_e$ est dit instable.

Définition2: Stabilité asymptotique

Un point d’équilibre $x_e$ est asymptotiquement stable s’il est stable et si $$\exists α > 0 : ||x(0) − x_e|| < α \Rightarrow \lim_{t \rightarrow +\infty} x(t)= x_e $$